keflex 750

Login

VIP Studio - журнал «Современная наука»

Russian (CIS)English (United Kingdom)

МОСКВА +7(495)-XXX-XX-XX

Расчёт энергии ионизации трехэлектронных систем на основе модифицированной модели атома бора

E-mail Печать

Н.В. Островский, (доцент, Вятский государственный университет, г. Киров)

 

«Естественные и технические науки», № 1-2011

В данной работе описано использование модифицированной модели атома по Н. Бору для расчёта энергии ионизации внешнего электрона трехэлектронных систем типа . Наряду с классическими уравнениями Бора модель включает модифицированное уравнение электростатического взаимодействия, экспериментальное уравнение для вычисления поправки к полной энергии спаренных электронов, специальную функцию для нахождения квантованного радиуса орбиты электрона. Модель не содержит каких-либо вариационных коэффициентов. Относительная погрешность в вычислениях составила не более 1.3% отн.

ВВЕДЕНИЕ

В 1913 г. Нильсом Бором на основе представлений Резерфорда была предложена модель строения атома [1], согласно которой электрон в атоме обращается вокруг ядра по круговой орбите так, что сила электростатического притяжения равна центробежной силе. На основе этой теории им была построена модель атома водорода, которая даёт превосходную сходимость с экспериментальными данными. Аналогичные результаты могут быть получены и для других одноэлектронных систем (ионов). Но в случае многоэлектронных систем результаты оказываются неудовлетворительными и в настоящее время теория Бора не имеет практического значения. Однако, то высокое совпадение между расчётами и экспериментом, которое даёт теория Бора в случае одноэлектронных систем навряд ли является случайным.

Ранее автором было показано, что основной причиной неудовлетворительного описания на основе теории Бора сложных систем является неадекватность данным системам уравнения Кулона [2]. Наряду с этим было предложено рассматривать спаренные электроны как квазичастицы и найдено уравнение, позволяющее вычислить поправку к Боровской энергии ионизации электрона в двухэлектронных системах [3]. С использованием указанных усовершенствований была построена ортогональная модель молекулы водорода, дающая межъядерное расстояние, соответствующие минимуму энергии системы, равное 0,87 Å по сравнению с экспериментальным значением 0,74 Å, и энергию связи 7,23∙10-12 эрг по сравнению с экспериментальным значением 7,19∙10-12 эрг [2].

В данной работе те же подходы применены к трехэлектронным система – атому лития и ионам гелия, бериллия, бора и углерода. Ввиду того, что взаимодействие между спаренными электронами не вполне понятно, для вычисления их энергии был использован полуэмпирический подход.

1. АЛГОРИТМЫ РАСЧЁТОВ

1.1. Классические уравнения Бора

В теории Бора электрон движется вокруг ядра по круговой орбите так, что сила электростатического притяжения уравновешена центробежной силой (в системе СГСЭ) [1]:

(1)

где:         Z – атомный номер, а e, me, u и r – соответственно заряд, масса, скорость и радиус орбиты электрона.

Момент количества движения электрона пропорционален[1] :

(2)

где:         n – целое число, равное номеру орбиты,   h – постоянная Планка.

В результате преобразований получаем [4, с. 31]:

(3)

Энергия электрона равна сумме кинетической и потенциальной энергии, а из равенства (1) следует, что кинетическая энергия равна половине абсолютного значения потенциальной энергии. Исходя из этого, мы получаем уравнение для энергии электрона на орбите n [4, с. 31]:

(4)

1.2. Уравнение электростатического взаимодействия

Учёные МГУ [5, с. 268] проводят аналогию между небесной и волновой механикой, указывая, что в небесной механике чисто теоретический подход не позволяет получить точное описание движения небесных тел. Причина этого в том, что уравнение Ньютона не позволяет решить задачу трёх тел. Уравнение Кулона:

(5)

где q1 и q2 величины взаимодействующих зарядов, а r12 – расстояние между ними, аналогично уравнению Ньютона и также непригодно для сложных систем.

В работе [2] для описания электростатического взаимодействия между зарядами 1 и 2 в присутствии заряда 3 было использовано уравнение:

(6)

где:         r12 и r23 – расстояния между зарядами 1 и 2, 2 и 3 соответственно,

                β – угол между r12 и r23.

1.3. Энергия спаренных электронов

Следует признать, что природа взаимодействия электронов, занимающих одну орбиту («спаренных» электронов), не вполне понятна. Поэтому для вычисления их энергии ионизации используют эмпирические зависимости [6]. В работе [3] было показано, что с высокой точностью (R2 = 1.00000) энергия ионизации двухэлектронных частиц (H-, He, Li+, Be+2) может быть вычислена по уравнению (в эргах):

(7)

где Z – заряд ядра.          

При этом разница между экспериментальным значением энергии ионизации и значением, вычисленным по уравнению Бора (3), равна, эрг:

(8)

где rZ – Боровский радиус орбиты электрона.

1.4. Квантованное значение радиуса орбиты электрона [7]

Как было указано выше, радиус орбиты электрона определяется однозначно с одной стороны равенством силы электростатического взаимодействия центробежной силе (1), а, с другой стороны, величиной момента количества движения, определяемой уравнением (2).

В общем виде мы можем записать:

(9)

Выразив величину скорости из уравнения (2), подставив её в уравнение (9) получим:

(10)

Разделив обе части уравнения (10) на e2 заметим, что правая часть уравнения содержит выражение для r1 (см. уравнение (3)) в атоме водорода, которое обычно обозначают как a0:

(11)

Для систем, состоящих из многих частиц, выражение для FE может быть весьма сложным, что затрудняет аналитическое решение уравнения (11). Но мы можем ввести специальную функцию – φ(rZ) – и найти её корень, т.е. значение rZ при котором значение функции равно нулю, численно с применением ЭВМ. Это значение rZ и будет квантованным значением радиуса орбиты электрона.

(12)

2. МОДЕЛЬ ТРЕХЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЫ

В модели Бора электроны движутся по круговым орбитам. Для двухэлектронной системы (нижних электронов, обозначаемых, обычно, как 1s2) возможно два варианта: 1) одна орбита находится внутри второй и 2) обе орбиты находятся в параллельных плоскостях, сдвинутых относительно ядра. Поскольку в рассматриваемой модели мы отказались от анализа взаимодействия спаренных электронов, а в уравнениях (7) и (8) используется одна и та же величина радиуса орбиты электронов, то мы выбираем второй вариант.

Орбиту внешнего электрона (2s) мы расположим в плоскости, параллельной плоскостям нижних электронов, проходящей через ядро. В итоге мы получим модель, которую логично назвать трициклической (см. рис. 1).

исунок 1. Трициклическая модель: 1 – ядро, 2 и 3 – орбиты 1s-электронов,

4 и 5 – центры орбит 1s-электронов, 6 – орбита 2s-электрона.
 

Заряд электрона на круговой орбите логично рассматривать как распределённый. Это может быть обусловлено как волновыми свойствами электрона, так и его высокой скоростью движения по орбите (2,19·108 см/с в атоме водорода). Тогда сила со стороны ядра, воздействующая на элемент заряда внешнего электрона (индекс 6), с учётом воздействия элементов заряда внутренних электронов (индексы 2 и 3) исходя из уравнения (6) будет описываться следующим образом:

(13)

где: dqi  - элементы зарядов электронов, rij – расстояния между элементами зарядов электронов, β62 – угол между r61 и r62, β63 – угол между r61 и r63.

Если принять, что заряд распределён по окружности равномерно, то величина элемента заряда будет равна dq=edα/2π, где dα – элемент окружности орбиты. Для того, чтобы найти полную силу, необходимо провести интегрирование по всем трем окружностям, но, поскольку орбиты нижних электронов симметричны, всё сводится к двойному интегрированию:

(14)

В случае нижних электронов в рамках данной модели мы учитываем только влияние внешнего электрона. Тогда сила притяжения электрона к ядру будет описываться уравнением:

(15)

где γ26 – угол между r21 и r26.

Потенциальную энергию заряда мы определим как произведение силы, действующей на заряд, на расстояние от точки воздействия (ядра) до заряда:

(16)

а кинетическая энергия будет равна половине абсолютного значения потенциальной энергии.

В случае нижних электронов центр орбиты не совпадает с ядром и равновесие будет описываться следующим уравнением:

(17)

где δ – угол между r21 и r24.             

Соответственно и кинетическая энергия нижних электронов определяется  проекцией F21 на r24: 

(18)

Функции для нахождения квантованных радиусов орбит приобретут вид:

(19)
(20)

В случае 2s электрона мы так же должны использовать n=1, т.к. в модели Бора квантовое число n=1 отвечает основному состоянию электрона, а большие значения – возбуждённым.

3. РЕЗУЛЬТЫТ РАСЧЕТОВ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В расчётах были использованы следующие значения: me = 9,1091·10-28 г, e = 4,803·10-10 , с = 2,9979∙1010 см/с, h = 6,6256·10-27 эрг·с [8]. Экспериментальные величины энергий ионизаций взяты из книги [9]. Поиск кантованных значений r21 и r61 проводился на ЭВМ для условия φ<0,001 a0 и с шагом π/1800 по α, 0,0001a0 по r21 и 0,001r21 для r61.

В результате мы получили набор решений для различных расстояний между плоскостями орбит нижних электронов (табл. 1). Как видно из таблицы, по мере увеличения расстояния между плоскостями орбит нижних электронов их радиусы плавно увеличиваются, что связано с уменьшением притяжения к ядру. При этом также возрастает радиус орбиты внешнего электрона, который отталкивается от ядра нижними электронами. Всё это ведёт к увеличению энергии системы. Так при изменении r45 от 0,01 до 0,1 а0 потенциальная энергия каждого из нижних электронов увеличивается от  -39,35∙10-11 до -37,76∙10-11 эрг, а потенциальная энергия верхнего электрона – от -2,366∙10-11 до -2,332∙10-11 эрг. Поправка к суммарной энергии нижних электронов изменяется от 7,513∙10-11 до 7,263∙10-11 эрг. В результате полная энергия системы возрастает от -33,04∙10-11 до -32,06∙10-11 эрг.

Таблица 1.

Различные решения системы уравнений для трицикличекой модели атома лития

r45, а0

r24, а0

r61, а0

φ6

ELi, эрг∙10-11

ILi, эрг∙10-11

Ошибка
вычисления

ILi,  %

0,001

0,333

1,357

0,0008

-33,04

1,301

+53

0,01

0,333

1,357

0,0009

-33,03

1,286

+51

0,02

0,333

1,357

0,0010

-32,99

1,254

+47

0,03

0,334

1,358

0,0009

-32,95

1,207

+42

0,04

0,334

1,359

0,0008

-32,87

1,131

+33

0,05

0,335

1,360

0,0007

-32,77

1,029

+21

0,06

0,337

1,361

0,0007

-32,67

0,927

+8,8

0,065

0,337

1,362

0,0009

-32,60

0,863

+1,3

0,07

0,338

1,363

0,0010

-32,55

0,808

-5,4

0,08

0,340

1,364

0,0009

-32,39

0,652

-24

0,09

0,341

1,366

0,0008

-32,19

0,446

-48

0,10

0,343

1,368

0,0008

-32,06

0,320

-63

0,20

0,404

1,420

-0,11

-27,37

-4,368

-613

0,30

0,449

1,513

-0,15

-24,69

-7,054

-928

 

Наилучшая сходимость с экспериментальным значением полной энергии атома лития (+0,03% отн.) достигается при r45, равном 0,065 а0. Вычисленная при этом энергия ионизации атома составила 0,863∙10-11 эрг, что на  1,3% отличается от экспериментально найденной величины. Данный результат является более чем удовлетворительным, учитывая, что он получен для чисто теоретического расчёта.

Аналогичные расчёты были проведены и для некоторых других трёхэлектроных систем (см. табл. 2). Для иона He решения отсутствуют.

Величина энергии ионизации атома лития, вычисленная в рамках модели Шрёдингера, составила 4,23 эВ [10, с. 86-91] (0,668∙10-11 эрг), что на 21,5% отн. меньше экспериментального значения.

Таблица 2.

Результаты расчётов энергий ионизации трёхэлектронных систем

r45, а0

r24, а0

r61, а0

φ6

EM, эрг∙10-11

э IM, рг∙10-11

Ошибка
вычисления

IM,  %

Атом лития

0,065

0,337

1,362

0,0009

-32,60

0,863

+1,3

Ион Be+

0,079

0,257

0,717

0,0008

-62,42

2,918

+0,1

Ион B+2

0,081

0,209

0,484

0,0005

-102,1

6,081

+0,1

Ион C+3

0,080

0,177

0,362

0,0008

-151,6

10,29

-0,4

 

ВЫВОД

Использование модифицированной модели Бора, в которой «спаренные»  1-s электроны обращаются по параллельным орбитам, сдвинутым относительно ядра, позволяет рассчитать энергию ионизация внешнего 2-s электрона в трёхэлектронных системах типа 1s22s без использования вариационных коэффициентов и итерационных методов с относительной погрешностью, не превышающей 1,3% отн.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Бор Н. О строении атомов и молекул // Избранные научные труды. Т. 1. – М.: Наука, 1970, с. 84-148.

2. Островский Н.В. Динамическая модель молекулы водорода. II. Ортогональная модель молекулы водорода // Интернет-конференция "Информационно-вычислительные технологии в науке". 25.02.2008. http://www.ivtn.ru/2008/pdf/d08_21.pdf (дата обращения 01.10.2011).

3. Островский Н.В. Об энергии основных состояний и энергии ионизации двухэлектронных атомов и ионов (на основе теории строения атома Нильса Бора) // Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Наука – производство – технологии – экология». – Киров: Вятский государственный университет, 2008, т. 3, с. 197-199.

4. Дей К., Селбин Д. Теоретическая неорганическая химия. – М.: "Химия", 1971. – 416 c.

5. Соколов А.В., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика. – М.: Просвещение, 1965. – 638 с.

6. Бете Г. Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. –  М.: ГИФИМЛ, 1960, с. 235-243.

7. Островский Н.В. Нахождение квантованного радиуса орбиты электрона // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции ИТТМ-2009. – Томск: Изд-во Томского гос. унив-та, 2009, ч. 2, с. 152-155.

8. Коттон Ф., Уилкинсон Дж. Современная неорганическая химия. Т. 1. – М.: Мир, 1969. – 224 с.

9. Эмсли Дж. Элементы.  – М.: Мир, 1993. – 256 с.

10. Флюгге З. Задачи по квантовой механике, т. 2. – М: Мир, 1974. – 316 с.


© Н.В. Островский,  Журнал «Современная наука: Естественные и технические науки № 1-2011»
 
 
 

ПРАВОВАЯ ИНФОРМАЦИЯ:  Перепечатка материалов допускается только в некоммерческих целях со ссылкой
на оригинал публикации. Охраняется законами РФ. Любые нарушения закона преследуются в судебном порядке. © ООО "Научные технологии"

Книжные Изданияbadge

badge
  • Реструктуризация информационного пространства органов государственной власти Санкт-Петербурга
  • Профессия «Бухгалтер»: прошлое, настоящее, будущее
  • Финансово-кредитная политика России
  • О недостаточности категории «графическое слово» для описания языкового материала арабского литературного языка (в связи с акцидентальными письменными словами в АЛЯ)

 

Текущие статьи


Журнал - Маркшейдерия и Недропользование Журнал Земля и Недвижимость Сибири Журнал - Минеральные Ресурсы России. Экономика и Управление Журнал - Геология Нефти и Газа Журнал - ГЛОБУС: Геология и Бизнес

Последние комментарии

RSS
VIP Studio Retro
levitra bitcoin