Новая трактовка задачи ВЕЙСБАХА

Выпуск № 5-2011

А.В. ГАЛЬЯНОВ

В  статье [1] рассмотрен вопрос о рациональной форме треугольника примыкания в задаче Вейсбаха в модернизированном варианте с использованием базис-рейки, в которой в частности показано, что угол ϕ при точке примыкания С должен быть не менее 2-3°. В настоящей статье предложена развернутая теория треугольника примыкания с использованием базисной стороны в варианте замкнутой полужесткой системы ориентирно-соединительной съемки (рис.1).

Рис.1. Принципиальная схема задачи Вейсбаха

Известные теоретические исследования [2,3] по оценке точности ориентирно-соединительных съемок  рассматривают всю систему измерения длин и углов с позиции независимых случайных величин: стороны треугольника примыкания рассматриваются как автономные отрезки, длина которых измеряется независимо друг от друга; угол ϕ принципиально другая геометрическая величина и, следовательно, также представляет собой независимый параметр. Это позволяет формально величину Δi = xi – x0 , если она удовлетворяет условиям

представить как случайную величину, квадрат которой оценивает дисперсию параметра x. В замкнутой системе событий условие независимости элементов между собой утрачивает свою силу. В частности, для треугольника основополагающими являются известные соотношения (условия замыкания):

(1)

(2)

Выполнение условия (2) является необходимым и достаточным для того, чтобы три отрезка а, b и с образовали замкнутую систему в форме треугольника, даже при наличии ошибок в их определении.

Поставленное нами условие c = const позволяет рассмотреть теорию треугольника примыкания с позиции замкнутой системы и оценить влияние ошибок в угловых и линейных измерениях на точность передачи координат и направления в шахту.

Влияние погрешности линейных измерений на передачу направления створу между отвесами.

Поскольку в треугольнике примыкания сторона с (створ между отвесами) жесткая и принимается за базис, ее погрешность равна нулю, то есть Δс=0. Ставим условие – угол примыкания ϕ измеряется с высокой точностью так, что его погрешностью можно пренебречь – Δϕ=0. Следовательно, погрешность направления AB будет определяться только погрешностью измерения сторон а и b (рис.2).

Рис.2. Схема к определению погрешности направления АВ

Обозначим через γ и Ψ углы треугольника при отвесах А и В, а через а и b – длины сторон, противолежащие  этим углам; ошибки измерения сторон равны соответственно, Δа и Δb. Как показано на рис.2, в замкнутой системе с базисной стороной величины Δа и Δb не являются независимыми и между ними существует однозначное геометрическое соотношение, при том, что будут выполнены условия замыкания:

(3)

Из этого следует, что db и da всегда должны иметь один знак, а ошибка в определении дирекционного угла стороны АВ будет равна dγ. В действительности же измерение сторон а и в является независимой  процедурой полевых работ и поэтому знак ошибок этих величин неизвестен.